Como Se Representan Los Números Racionales
Los números racionales en el Antiguo Egipto – Los números racionales surgen con la necesidad de repartir una cantidad D en d partes, donde D no es múltiplo de d, Para calcular la cantidad que será repartida a cada parte, se necesita realizar la operación D:d, que no tiene como resultado un número entero, ya que D no es múltiplo de d,
- Para dar resultado a esta operación, aparecen entonces unos números que pueden representarse de la forma D/d, distintos de los números enteros.
- En el Antiguo Egipto hacían ya este tipo de repartos de «las partes de un entero», utilizando casi exclusivamente fracciones unitarias, que son las que tienen numerador 1.
Es decir, las que podemos representar mediante una fracción 1/b, donde b es un número entero positivo. Estas fracciones unitarias las representaban mediante un jeroglífico con forma de «boca abierta» que denotaba la barra de fracción, y un jeroglífico numérico escrito debajo que denotaba el denominador de la fracción. Cualquier fracción no unitaria la representaban como suma de fracciones unitarias distintas. De ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como fracciones egipcias. ¿Qué te ha parecido este post? ¿Te ha gustado conocer mejor los números racionales? Si es así, compártelo para que otros también puedan aprender sobre ellos.
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Licenciada en Matemáticas y monitora de ocio y tiempo libre, por lo que cree en el aprendizaje a través del juego y la experimentación y le apasiona hacer de las matemáticas una asignatura amigable para los niños. Forma parte del equipo de desarrollo de contenidos de Smartick. Amante de la naturaleza, el yoga y el baile. Últimas entradas de Marisa Reguero ( ver todo )
Contents
- 0.1 ¿Cómo se representan los números racionales y pon dos ejemplos?
- 0.2 ¿Qué son los números racionales y 5 ejemplos?
- 0.3 ¿Cómo se representan los números racionales e irracionales?
- 1 ¿Cuáles son los tres tipos de números racionales?
- 2 ¿Qué número representa la R?
- 3 ¿Qué tipo de número es √ 2?
- 4 ¿Qué significa el símbolo Q?
- 5 ¿Cómo surgen los números racionales y cómo se representan?
- 6 ¿Qué son los números enteros y 10 ejemplos?
- 7 ¿Qué tipo de número es el número pi?
¿Cómo se representan los números racionales y pon dos ejemplos?
Los números racionales son aquellos números que pueden ser expresados como una relación entre dos enteros. Por ejemplo, las fracciones 1/3 y -1111/8 ambas son números racionales. Todos los enteros están incluídos en los números racionales, ya que cualquier entero z puede ser escrito como la relación z /1.
- Los números que no pueden ser escritos como una relación de enteros son llamados irracionales,
- Todos los decimales que terminan son números racionales (ya que 8.27 puede ser escrito como 827/100.) Los decimales que tienen un patrón repetitivo después de algún punto también son racionales: por ejemplo, 0.083333333.
= 1/12. El conjunto de números racionales esta cerrado bajo las cuatro operaciones básicas: esto es, dados cualesquiera dos números racionales, su suma, diferencia, producto, y cociente también es un número racional (siempre que no dividamos entre 0.) El diagrama de Venn siguiente muestra las relaciones de los varios conjuntos de números.
¿Qué son los números racionales y 5 ejemplos?
Los números racionales son todos los números que son susceptibles de ser expresados como una fracción, es decir, como el cociente de dos números enteros, La palabra ‘ racional ‘ deriva de la palabra ‘ razón ‘, que significa proporción o cociente. Por ejemplo: 1, 50, 4.99, 142,
En las operaciones matemáticas que se hacen a diario para resolver cuestiones cotidianas, casi todos los números que se manejan son racionales, pues la categoría abarca a todos los números enteros y a una gran parte de los que llevan decimales, Tanto los números fraccionarios racionales como los irracionales (su contraparte) son categorías infinitas.
Sin embargo, estos se comportan de diferente manera: los números racionales son comprensibles y, en tanto representables por fracciones, su valor se puede aproximar con un criterio simplemente matemático, no ocurre esto con los irracionales.
¿Cómo se representan los números racionales e irracionales?
¿Cuáles son los números irracionales? – Los números irracionales son presentados por la letra I, “i” mayúscula. Otra forma de presentar los números irracionales es R – Q, en donde, R corresponde a los números reales y Q a los números racionales. Es importante no utilizar “i” minúscula ya que representa los números imaginarios.
Número Pi : Se representa por la letra griega pi ” Π ” y su valor aproximado se redondea a 3.1416 pero el valor real de las decimales es inifito: 3.141592653589793238462643. Conoce más sobre: ” Número Pi “. → Número de euler : Se representa por la letra ” e y tiene decimales infitas, algunas de las cifras son: 2.718281828459045235. Conoce más sobre: ” Número de euler “. → Número áureo o razón de oro : Se representa por la letra griega phi ” Φ “, es un número que presenta grandes maravillas y propiedades increíbles, el valor resumido es de: 1.61803398. Conoce más sobre: ” Número Áureo “. →
Algunos números irracionales son: √ 5 = 2.23606797749979. √ 2 = 1.41421352373095. √ 123 = 11.09053650640942. √ 3 = 1.732050807568877. √ 685 = 26.1725046566048.6.01001000100010000. Contenido Tutoriales de Aritmética
¿Qué tipo de números son racionales?
Números racionales – Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero,
- Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales ; pero los números decimales ilimitados no.
- Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción,
- El número irracional más conocido es, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
Otros números irracionales son: El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos. e = 2.718281828459. El número áureo,, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,.) en las proporciones de sus obras.
¿Cuáles son los tres tipos de números racionales?
Fracciones, decimales y porcentajes : El número racional.
¿Qué es un número racional y sus partes?
En matemática, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros. El conjunto de los números racionales se denota por, que significa «cociente». Este conjunto de números incluye a los números enteros (positivos y negativos), decimales y a las fracciones.
¿Cuáles son las partes de un número racional?
En las matemáticas se conoce el concepto de números racionales para hacer referencia a aquellos indicadores que permiten conocer el cociente entre dos números enteros, La noción de racional proviene de ración (parte de un todo). Los números racionales están formados por los números enteros (que pueden expresarse como cociente: 5= 5/1, 38=38/1) y los números fraccionarios (los números racionales no enteros: 2/5, 8/12, 69/253).
- Cada uno de los números enteros posee otro carácter que le sigue; de tal modo que al -1 le sigue el 0 y a éste el 1, sucesivamente, y a su vez entre cada uno de éstos existen infinitos números no racionales.
- Los números racionales permiten expresar medidas,
- Cuando se compara una cantidad con su unidad, se obtiene, por lo general, un resultado fraccionario.
Por ejemplo: Si divido una pizza en dos partes, tengo dos mitades. Cada porción será 1/2 de la pizza (una parte de dos). En caso de tomar ambas porciones, volveré a tener la pizza entera (2/2= 1). 
Los números fraccionarios forman parte de los números racionales.
¿Qué número representa la R?
La calificación de números reales engloba a otros tipos de números: naturales, enteros y racionales
NOTICIA 01.01.1970 – 01:00h Actualizado: 07.08.2019 – 10:36h Los números reales están compuestos por otros tipos de números. En este practicograma te explicamos cómo saber diferenciar este tipo de números y cómo se representan en matemáticas.1 Los números naturales son números reales.
En matemáticas, la letra que representa a los números reales es la R. Para definir correctamente este tipo de números hay que explicar otros que están englobados como números reales. Es el caso de los números naturales (1, 2, 3.), aquellos números mayores que 0 que se utilizan para contar cosas.2 Los números enteros forman parte de los números reales.
Los números enteros también son números reales. Los números enteros son aquellos que no contienen decimales y que pueden ser positivos o negativos (-1, 0, 1, 2.).3 Los números racionales también son números reales. Los números racionales, aquellos que son el resultado de dividir dos números enteros, también forman parte de los números reales.
Engloban, a su vez, a los números naturales y a los enteros. Son, por ejemplo el 0,5, el 1, el 1,5, etc.4 Los números irracionales completan los números reales. Por último, los números irracionales son a su vez números reales. Este tipo de números no se puede representar con una fracción porque sus decimales son infinitos.
Conforme a los criterios de
¿Cómo representar un número irracional?
Para representar números irracionales en la recta numérica se debe recurrir a los triángulos rectángulos. Las raíces cuadradas exactas determinan el resultado aproximado de las que son números irracionales. son números racionales. En realidad otra forma de definirlos es decir: que se pueden expresar como fracción.
¿Qué significa la letra Z en matemáticas?
El conjunto de los números enteros, que representamos como Z, es el conjunto formado por los números 0, ±1, ±2, ±3,
¿Qué números no pueden ser racionales?
Hotmath Cualquier número que pueda ser escrito como una fracción con enteros es llamado un número racional. Por ejemplo, son números racionales. Si un número puede ser reescrito como una fracción con enteros, es también llamado un número racional. Todos los enteros son números racionales. El número 7 es un número racional porque puede ser reescrito como, El número 0 es un número racional porque puede ser reescrito como, Todos los números mixtos son números racionales. es un número racional porque puede ser reescrito como, Todos los decimales que terminan y tienen un patrón repetitivo después de algún punto también son números racionales. El número 0.2 es un número racional porque puede ser reescrito como, El número 0.33333. es un número racional porque puede ser reescrito como, Algunos números no pueden ser reescritos como una fracción con enteros, y estos no son números racionales. Algunos ejemplos son pi y la raíz cuadrada de cualquier número primo. Estos ejemplos son llamados números irracionales,
¿Qué tipo de número es √ 5?
Números irracionales : R−Q Estos números tienen infinitos decimales y no son periódicos. Ejemplos: Algunas raíces, como las raíces de los números primos: √2, √3, √5, √7
¿Por qué todo número entero es racional?
Nota que todos los enteros (y eso significa todos los números completos y números naturales) son números racionales porque pueden escribirse usando 1 como el denominador q. Por ejemplo, -3 puede escribirse como, por lo que también es un número racional.
¿Qué tipo de número es √ 2?
Demostramos que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional, p.
¿Cuándo es un número irracional?
Definición En general llamamos número irracional a los números decimales ilimitados no periódicos. Dicho de otro modo, un número irracional es un número de infinitas cifras decimales no periódicas.
¿Qué tipo de número es el 7?
El siete (7) es el número natural que sigue al 6 y precede al 8.
¿Qué significa el símbolo Q?
ARTÍCULOS ORIGINALES El conjunto de los números y dos formas de entender al número “π” Set of numbers and two ways to understand “π” number Bruno E. Vargas Biesuz 1 [email protected] Instituto de Investigación en Ciencias Económicas y Finacieras, Universidad La Salle Bolivia Artículo Recibido: 10-01-2017 Artículo Aceptado: 25-02-2017 Resumen Es bastante conocido que el número irracional “pi”, de amplia aplicación en las matemáticas, es la razón entre la longitud de una circunferencia y el diámetro que esta genera.
Sin embargo hay otra forma de entender a este número, a través del cálculo de la superficie de una parte de la circunferencia y esto se logra con el uso de herramientas del cálculo integral. El método utilizado para este propósito: es el análitico matemático, y el resultado obtenido es la verificación de la propuesta establecida.
Se pretende por tanto, verificar que la integral de una función, definida en un intervalo determinado, resulta ser el número “pi”. Luego de una serie de consideraciones, operaciones matemáticas y cálculos, al final del trabajo se obtiene el resultado esperado.
- Por tanto, la superficie de media circunferencia es el número “pi” y, esta es una interpretación alternativa, no aritmética de esta importante constante matemática.
- Palabras claves: Conjunto de números, numero irracional, número “”, integral definida.
- Abstract It is well known that the irrational “pi, of wide application in mathematics, is the ratio between the length of a circumference and the diameter that this generates.
However there is another way of understanding this number, this is through the calculation of a part of the circumference and this is done with tools of integral calculus. The method used for this purpose is the mathematical analysis, and the result obtained is the verification of the established proposal.
It intends to verify that the integral of a function over a given interval, also turns to be “pi” number. Carried out some considerations, mathematical operations and calculations, ay the end of this paper, the expected result is reached. Therefore, the surface of a half circumference is also the “pi” number, this is an non arithmetic alternative interpretation of this fundamental mathematical constant.
Keywords: Set of numbers, irrational number, “number, definite integral. Introducción De una u otra forma, todos utilizamos los números y se tiene una noción intuitiva básica de lo que representan. Por otra parte, los sistemas educativos formales, enseñan cómo manejarlos.
- Sin embargo, a decir del matemático Michael Spivack “.
- Lo que en realidad los números son, queda más bien en la penumbra y no entendemos lo que son” (Spivak,1986, p.16).
- Dejando de lado la preocupación por conceptualizar lo que un número és, quienes se ocupan de su estudio, los matemáticos, para entender sus propiedades, utilizarlos y sacarles provecho en muchas aplicaciones, los han ordenado o clasificado en clases o conjuntos.
Por supuesto, para este logro han transcurrido muchos años (siglos) y un prolijo trabajo intelectual. Referentes conceptuales Los números naturales. Estos se los utiliza básicamente para contar y con ellos, se pueden hacer algunas operaciones aritméticas.
Se los identifica con el símbolo N y puede definirse como todos los números que son enteros (sin parte decimal) y positivos, es decir mayores que el número cero (0). N= Es evidente que los números naturales tienen muchas limitaciones. Por ejemplo, si solo existiesen estos números, no podría ser posible establecer una idea como la de una temperatura de -10° (menos diez grados).
Para superar estas limitaciones los matemáticos idearon las siguientes clases de números. Los números enteros. A estos se los define como todos los números enteros, tanto positivos como negativos. Este conjunto de números se los identifica con el símbolo Z (del alemán “Zahl”, numero).
Portanto, Z= Al igual que en el anterior caso, con solo la existencia de los números enteros, no sería posible comprender la existencia de algo como 2,35 unidades monetarias. Esta nueva limitación, fue superada con la definición de un conjunto de números más amplio, que se obtienen dividiendo un par de números enteros.
Los números racionales. A estos números se los designa por el símbolo Q (del inglés “quotient” o cociente). Los números racionales son números que pueden expresarse en forma de fracción, por ejemplo, en los que a y b son números enteros, pero además, b debe ser necesariamente diferente de cero. Para establecer si un número es racional, de lo que se trata es que el número pueda ser escrito como fracción irreducible. Pueden darse varios casos, por ejemplo. Todos estos números decimales, que han sido expresados como fracciones, son números racionales. Sin embargo existen otros números como v2= 1,414213562. cuya parte decimal no tiene ningún patrón de repetición. Este tipo de números, también conocidos como números decimales infinitos no periódicos, que definitivamente no pueden ser expresados como fracciones, nos lleva a otro conjunto numérico.
Los números irracionales. A estos se los designa con el número Q c es decir, los números irracionales son todos los números que no son racionales. Estos pueden ser conceptualizados como aquellos números que no se pueden expresar como una razón o fracción de dos números enteros. Existen muchos números irracionales, algunos de ellos son muy conocidos y extremadamente importantes en distintos ámbitos de las ciencias, por ejemplo el número “e” base de los logaritmos naturales (neperianos) y el muy conocido “π”.
Los matemáticos, han desarrollado varias pruebas formales que muestran la irracionalidad del número “π”. Lo considerado hasta aquí, ayuda al propósito de este artículo, que es presentar dos formas de entender al número irracional “π”, lo cual se mostrará luego de explicar otros dos conjuntos de números. Los números complejos. Además de todos los conjuntos de números analizados hasta ahora, existen los llamados números complejos. Estos números simbolizados por C, se caracterizan por ser números compuestos por una parte real y una parte imaginaria. Por ejemplo en su forma binomica: 5 + i es un numero complejo en el que cinco (5) es un número real e “i”, es llamada “unidad imaginaria”: El número “π”, enfoque geométrico. Los sabios geómetras de la antigüedad, ya se percataron de la existencia de una relación intrínseca o de proporcionalidad entre la longitud de una circunferencia (L) y la longitud del diámetro que esta genera (D). Al dividir la longitud de una circunferencia, entre la longitud de su diámetro, se obtiene siempre un número fijo o constante; este número no es otro que “π”, que se aproxima a la cifra : 3,141592654.
Por ejemplo, si la longitud de una circunferencia es 251 cm. y la longitud del diametro es 80 cm. El cociente de estas magnitudes es π = 3,14 En otro caso, con la longitud de la circunferencia de 188,5 cm y un diametro de 60 cm, el cociente es la misma constante matematica π = 3,14. Existe un teorema matemático que prueba rigurosamente que “π” es un numero irracional, cuya demostracion no es sencilla.
El numero “π” desde el enfoque del cálculo integral. Llamemos a “C” la circunferencia con centro en el origen (0,0) y radio unitario (r = 1). Esta circunferencia puede ser definida como el conjunto de pares ordenados ( x, y ), tales que x 2 + y 2 = 1 En ternimos de la notacion de la teoria de conjuntos: La ecuacion x 2 + y 2 = 1, define una circunferencia con centro en el origen y radio unitario. A partir de la conocida formula geométrica que permite calcular la superficie o area de una circunferencia: En este caso el area o superficie de la circunferencia “C” es π Gráficamente: Gráficamente: La superficie de esta media circunferencia es π/2. Ahora utilizando la integral de Riemann, como herramienta para calcular la superficie de una figura geometrica, se tiene: Para verificar esto ultimo, se debe resolver la integral definida dada. Para facilitar el cálculo, expresamos la igualdad (1) del siguiente modo: Se resuelve ahora el segundo miembro de la igualdad (2), considerando la siguiente sustitucion trigonometrica: Sustituyendo en (2): Para resolver el segundo termino de la expresion entre corchetes, se realiza el siguiente cambio de variable: Resolviendo y sustituyendo Aquí se debe recordar la siguiente identidad trigonométrica: Retomando la ecuacion (2): Método Para probar de forma no aritmética la interpretación del número irracional “π”, se utilizó el método analítico matemático, fundamentalmente del cálculo integral. Resultados y discusión. Sustituyendo los limites de integración: Luego de los cálculos realizados, se verifica que efectivamente, la función integrada, que corresponde a media circunferencia, en el intervalo dado, es el número “pi”. Nótese que en la circunferencia trigonométrica definida en radianes, π = 180°, que es precisamente el resultado obtenido.
Conclusión. • Se ha verificado que la constante matemática “pi”, no es simplemente la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro que esta genera, lo cual es una consideración básicamente aritmética. El resultado obtenido, es una forma alternativa de entender al número irracional “pi”, mediante el uso de las herramientas del calculo integral.
Por tanto, una interpretación matemática alternativa de esta fundamental constante matemática. En consecuencia se ha logrado el objetivo establecido y verificado la propuesta. • Finalmente, es pertinente recordar que esta constante matemática es usada en practicamente todas las ciencias, como ejemplos: toda la geometría de los cuerpos circulares y esféricos; la extensión de sus decimales es útil en el campo computacional; los juegos de las computadoras usan series numéricas con valor “pi”; todos los fenómenos ondulatorios de la física; las ecuaciones de las ondas gravitacionales; las series de Fourrier que se usan en las telecomunicaciones; diseño y fabricación de productos como neumáticos, relojes, vasos, botellas; en astronomía para el cálculo de de la extensión de las superficies de los palnetas, etc.
- Referencias Howard E.
- Taylor & Thomas L. Wade. (1971).
- Calculo diferencial integral.
- Mexico: Editorial Limusa Willey.
- Matematicas 7° Primaria.(2001).
- La Paz Bolivia: Editorial Bruño.
- Spivak, Michael R.(1986). Calculo.
- Barcelona: Editorial Reverte S.A. Smith R.
- Minton R. (2001).
- Cálculo (Tomo 1).
- Mc Graw Hill,
- Espinoza Ramos E.
(2008) Análisis Matemático I (para estudiantes de ciencias e ingenieria). Servicios Gráficos. Lázaro M.(2004) Cálculo Diferencial. Moshera Ed.
¿Cómo surgen los números racionales y cómo se representan?
Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros con divisor diferente de cero, es decir, en forma de fracción. Se representan por Q. Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios en donde es el numerador y el denominador.
¿Qué es un número racional 4?
Números racionales – Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Al conjunto de todos los números racionales lo denotamos como,
¿Cómo se clasifican los números racionales y ejemplos?
Tipos de números racionales – Los números reales se dividen entre números irracionales y números racionales, los cuales pueden reducirse a números enteros y estos a números naturales, Es decir, que existen dos grandes tipos de números racionales: los enteros y los naturales. 
Números reales Se dice que los números racionales son fracciones de números enteros porque los números enteros ya incluyen los números naturales.
¿Qué son los números enteros y 10 ejemplos?
Ejemplos de números enteros – Ejemplos de números enteros son cualquier número natural: 1, 2, 3, 4, 5, 10, 125, 590, 1926, 76409, 9.483.920, junto con cada número negativo correspondiente: -1,-2, -3, -4, -5,-10, -590, -1926, -76409, -9.483.920. Esto incluye, claro, al cero (0). : Números Enteros – Concepto, propiedades y ejemplos
¿Cuáles son los números irracionales ejemplos?
Conjuntos de Números
- Conjuntos de Números
- Objetivo de Aprendizaje
- · Identificar y definir los números, naturales, completos, enteros, racionales, irracionales y reales.
Los matemáticos reconocen varios conjuntos de números que comparten ciertas características. Estas categorías son útiles cuando ciertos tipos de números son válidos para valores y variables. Nuestro entendimiento y clasificación de los diferentes conjuntos de números se ha desarrollado durante miles de años De Números Naturales a Enteros Las primeras civilizaciones encontraron formas diferentes para escribir números, pero todas empezaron con el mismo conjunto de números que los niños de primaria aprenden hoy; los (también llamados ).
- Estos son los números 1, 2, 3, etc.
- Los números que usamos cuando contamos,
- Son naturales porque nuestro entendimiento de los números empieza con el reconocimiento de múltiples copias de cosas, como cuántos dedos tenemos, o el tamaño de conjuntos, como cuántos juguetes tenemos.
- Aunque las civilizaciones más antiguas entendían “nada” — sabían cuando no tenían ninguna vaca, ni hijos, por supuesto — el número cero tiene una historia interesante.
El primer uso de un símbolo para representar “nada” no fue sino hasta el siglo 3 AC. El sistema numérico Babilonio usaba los símbolos sólo como un marcador de posición en un sistema basado en posiciones, similar a la forma en que hoy usamos el 0 en el número 702 para representar no decenas.
- El primer reconocimiento del 0 como número, en la misma forma que 1 y 23 son números es incierto, pero puede datarse en el siglo 9 en India.
- Cuando se suma el 0 al conjunto de 1, 2, 3, etc., para formar los,
- Estos se llaman “completos” porque no contienen fracciones.
- Los son números completos más sus contrapartes negativas:, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,,
Los números negativos aparecieron en China alrededor del siglo primero AC. (¡Eso es 1000 años antes que se reconociera al cero como número!) Sin embargo, a pesar de su utilidad para representar conceptos como deuda, no fue sino hasta el siglo 18 — hace menos de 300 años — que ganaron aceptación general como números.
A) Incorrecto. Los números naturales son 1, 2, 3, etc. No incluyen el 0. La respuesta correcta es a los números completos y a los números enteros. B) Incorrecto. Si bien los números completos incluyen al 0, también los números enteros. La respuesta correcta es a los números completos y a los números enteros. C) Incorrecto. Los números naturales son 1, 2, 3, etc. No incluyen el 0. La respuesta correcta es a los números completos y a los números enteros. D) Incorrecto. Si bien los números enteros incluyen al 0, también los números completos. La respuesta correcta es a los números completos y a los números enteros. E) Correcto. Los números completos y los números enteros incluyen al 0, pero los números naturales no. |
Los números fraccionarios han existido desde antes que los números negativos y el cero. Los Egipcios antiguos (a partir del siglo 21 AC) estudiaron las fracciones. Hoy en día, los números fraccionarios están incluidos en el conjunto de los, que son los números que se pueden escribir de la forma donde p y q son enteros.
Los números racionales pueden escribirse de muchas formas. Por ejemplo, también puede escribirse como, 5.66, o, Sin importar la forma en que sea usado, ya que este número puede ser escrito como el radio de dos enteros, el número es racional. Nota que todos los enteros (y eso significa todos los números completos y números naturales) son números racionales porque pueden escribirse usando 1 como el denominador q,
Por ejemplo, -3 puede escribirse como, por lo que también es un número racional. Hasta ahora, los tipos de números que hemos descrito forman una serie de conjuntos anidados. Empezamos con los números naturales, luego expandimos ese conjunto con el 0 para formar los números completos. El matemático Griego Pitágoras, de quien toma el nombre el Teorema de Pitágoras, era el líder de un grupo conocido como los Pitagóricos. Ellos creían que todas las cantidades podían ser expresadas con un número natural o una relación entre los números naturales.
Cuenta la leyenda que creían esto tan fervientemente que cuando uno de sus miembros usó el Teorema de Pitágoras para demostrar que la hipotenusa del siguiente triángulo no puede ser expresada como el radio de números naturales, lo exiliaron. (O peor — algunas historias dicen que lo echaron por la borda cuando estaban en el mar y lo vieron ahogarse!) Ahora sabemos que los Pitagóricos estaban equivocados, y que sí hay cantidades que no son racionales.
Estos no pueden ser expresados como el radio de enteros. Cualquier raíz cuadrada de un número que no sea un cuadrado perfecto, por ejemplo, es irracional. Los números irracionales se escriben comúnmente como una de tres formas: como una raíz, usando un símbolo especial (como ), o como un decimal que no se repite y nunca termina. Los números con una parte decimal pueden terminar o no terminar. Terminar significa que los dígitos eventualmente se detienen (aunque podemos escribir ceros al final).
- Un decimal que no termina tiene dígitos (diferentes de 0) que continúan para siempre.
- Por ejemplo, considera la forma decimal de, que es 0.3333.
- Los 3s continúan indefinidamente.
- O la forma decimal de, que es 0.090909: la secuencia “09” continúa para siempre.
- Además de no terminar, estos dos números son también,
Sus partes decimales están hechas de un número o secuencia de números que se repiten una y otra vez. Un decimal es no repetido si sus dígitos jamás forman un patrón repetitivo. El valor de, por ejemplo, es 1.414213562. No importa qué tan lejos sigamos los números, los dígitos jamás repetirán la secuencia previa.
- Si un número termina o se repite, debe ser racional; si no termina y no se repite, el número es irracional.
- Considera un decimal que termina (o decimal terminal), como el 3.529.
- Como el número tiene un decimal que termina, no es un número racional.
- Podemos escribir 3.529 como el radio de dos enteros: el numerador es el número sin el punto decimal (en este caso 3,529) y el denominador es una potencia de 10 correspondiente al valor del lugar del último dígito.
Como el 9 está en el lugar de las unidades de millar, el denominador es 1,000. (Otra forma de hacer esto es contar los lugares del punto decimal hacia la derecha del punto decimal en el número original. El denominador es 1 seguido de esa cantidad de 0s. Aquí hay otro ejemplo:
| Ejemplo | |||
| Problema | Escribir -82.91 como el radio de dos enteros. | ||
| numerador: -8291 | El numerador es el número sin el punto decimal | ||
| denominador: 100 | Hay dos decimales a la derecha del punto decimal, entonces el denominador es 1 con dos 0s (eso es, 100) | ||
| Solución |
Y qué pasa si hay un decimal que no termina y que se repite? Aquí hay un método para expresar un decimal que se repite como el radio de enteros. Funciona con todos los decimales que se repiten: 1. Escribir una ecuación, x = el número con una barra sobre la porción que se repite.2.
Contar cuántos dígitos están en la porción del decimal que se repite, y multiplicar ambos lados de la ecuación del paso 1 por 10 elevado a esa potencia para crear una segunda ecuación. (Por ejemplo, si hay 3 dígitos que se repiten, multiplicar por 10 3 o 1000.) Mantener la porción que se repite, incluso si pudieras recorrer la barra de repetición.3.
Restar la ecuación del paso 1 de la ecuación del paso 2. Al hacer esto, las partes del decimal que se repiten se van a alienar. Todos los dígitos desde ese punto serán 0s.4. Dividir ambos lados de la nueva ecuación del paso 3 entre el coeficiente de x,5.
| Ejemplo | ||||||||||
| Problema | Escribir 8.9282828 como el radio de dos enteros. | |||||||||
| Escribir una ecuación con x igual al número con una barra sobre su porción repetida | ||||||||||
| La parte repetida tiene dos dígitos, entonces multiplicar por 10 2 o 100. Reescribir la barra sobre los dígitos repetidos al final | ||||||||||
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Funcionó! Pudimos escribir un decimal que no termina pero se repite como el radio de dos enteros. Eso prueba que el número es racional.
A) Correcto. El decimal no termina, pero se repite, por lo que puede escribirse como el radio de dos enteros. B) Incorrecto. A pesar de que el decimal no termina, sí se repite. Decimales que se repiten pueden escribirse como el radio de enteros. El número es racional. |
El conjunto de los se forma al combinar el conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales. El conjunto de números reales consiste en todos los números que tienen un lugar en la recta numérica.
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El diagrama siguiente muestra cómo todos los números reales se relacionan uno con otro. Nota que no hay superposición entre los números racionales y los números irracionales, y que ambos conjuntos forman los números reales. Los números que pueden ser representados en la recta numérica se llaman números reales. Estos números pueden ser separados en dos conjuntos que no tienen números en común: los números irracionales y los números racionales. Los números irracionales tienen formas decimales que no terminan ni se repiten.
| Números reales | cualquier número que sea racional o irracional |
| Números racionales | cualquier número que se puede escribir como el radio de dos enteros y que termina o se repite en su forma decimal |
| Enteros | , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, |
| Números completos | 0, 1, 2, 3, |
| Números naturales | 1, 2, 3, |
| Números irracionales | cualquier número que no se puede escribir como el radio de dos enteros y que no termina ni se repite en su forma decimal |
Conjuntos de Números
¿Qué tipo de número es el número pi?
El número pi como un número irracional – El número pi se caracteriza por ser un número irracional : no se puede expresar como la fracción de dos números. Es decir, no existen dos números, sean cuales sean, que al dividirse el uno entre el otro dan como resultado el número π.
- Estamos entonces ante un número que no es exacto, pues tiene decimales infinitos, y a la vez esa infinitud no consiste en la periodicidad, o repetición de los mismos decimales una y otra vez.
- Aunque esta irracionalidad “se olía” desde el descubrimiento del propio número, no fue hasta el siglo XVIII cuando se logró demostrar mediante cálculo integral.
Sin embargo, una de las demostraciones más sencillas se realizó en el siglo XX de mano del matemático estadounidense y canadiense Ivan Morton Niven, Este científico utilizó para ello el método conocido como reducción al absurdo : bastó con suponer que sí existían dos números cuya división tuviese como resultado el número pi, y observar que esto no era posible.
